लाडली बिहार बोर्ड

Q1. वास्तविक संख्याएँ क्या होती हैं?

उत्तर: वे सभी संख्याएँ जो संख्या रेखा पर दर्शाई जा सकती हैं, वास्तविक संख्याएँ कहलाती हैं। इसमें परिमेय और अपरिमेय दोनों शामिल होते हैं।

Q2. अपरिमेय संख्याएँ क्या होती हैं?

उत्तर: वे संख्याएँ जिन्हें p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं, जैसे √2।

Q3. दशमलव प्रसार क्या होता है?

उत्तर: किसी संख्या को दशमलव में व्यक्त करने की प्रक्रिया को दशमलव प्रसार कहते हैं। यह समाप्त या अनंत हो सकता है।

Q4. बहुपद (Polynomial) क्या होता है?

उत्तर: वह बीजीय व्यंजक जिसमें चर के घात पूर्ण संख्या में हों, बहुपद कहलाता है।

Q5. बहुपद के शून्य (Zeroes) क्या होते हैं?

उत्तर: वह मान जिससे बहुपद का मान शून्य हो जाए, उसे उसका शून्य कहते हैं।

Q6. दो चर वाले रेखीय समीकरण क्या हैं?

उत्तर: वे समीकरण जिनमें दो चर होते हैं और उनकी घात 1 होती है, रेखीय समीकरण कहलाते हैं।

Q7. (a + b)² का सूत्र क्या है?

उत्तर: (a + b)² = a² + b² + 2ab होता है, जो सर्वसमिका का उदाहरण है।

Q8. (a − b)² का सूत्र क्या है?

उत्तर: (a − b)² = a² + b² − 2ab होता है।

Q9. कार्टेशियन तल क्या है?

उत्तर: दो लम्बवत रेखाओं द्वारा बना तल, जिसमें बिंदुओं को निर्देशांकों से दर्शाया जाता है।

Q10. निर्देशांक कैसे निकाले जाते हैं?

उत्तर: किसी बिंदु की x और y अक्ष से दूरी लेकर उसके निर्देशांक निर्धारित किए जाते हैं।

Q11. कोण कितने प्रकार के होते हैं?

उत्तर: कोण मुख्यतः न्यूनकोण, समकोण, अधिककोण आदि प्रकार के होते हैं।

Q12. समांतर रेखाएँ क्या होती हैं?

उत्तर: वे रेखाएँ जो कभी नहीं मिलतीं और समान दूरी बनाए रखती हैं, समांतर रेखाएँ कहलाती हैं।

Q13. त्रिभुज के गुण क्या हैं?

उत्तर: त्रिभुज के तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं तथा कोणों का योग 180° होता है।

Q14. सर्वांगसमता (Congruence) क्या है?

उत्तर: जब दो आकृतियाँ आकार और माप में पूरी तरह समान हों, तो वे सर्वांगसम कहलाती हैं।

Q15. समांतर चतुर्भुज के गुण क्या हैं?

उत्तर: इसके विपरीत भुजाएँ समान और समांतर होती हैं तथा कोण बराबर होते हैं।

Q16. वृत्त क्या होता है?

उत्तर: वह आकृति जिसमें सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर हों, वृत्त कहलाता है।

Q17. जीवा (Chord) क्या होती है?

उत्तर: वृत्त के दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा को जीवा कहते हैं।

Q18. पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या होता है?

उत्तर: किसी ठोस आकृति के बाहरी भाग का कुल क्षेत्रफल पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है।

Q19. माध्य (Mean) क्या है?

उत्तर: सभी मानों के योग को कुल मानों की संख्या से भाग देने पर माध्य प्राप्त होता है।

Q20. प्रायिकता क्या है?

उत्तर: किसी घटना के होने की संभावना को प्रायिकता कहते हैं, जिसका मान 0 से 1 के बीच होता है।

Q21. सिद्ध करें कि √2 एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर: मान लें √2 परिमेय है, तो √2 = p/q (जहाँ p, q सहप्रमेय हैं)। वर्ग करने पर 2 = p²/q² ⇒ p² = 2q², जिससे p सम होगा। फिर q भी सम होगा, जो विरोधाभास है। इसलिए √2 अपरिमेय है।

Q22. सिद्ध करें कि किसी भी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो समाप्त होता है या आवर्ती होता है।

उत्तर: परिमेय संख्या p/q के रूप में होती है। जब q के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 या 5 हों तो दशमलव समाप्त होता है, अन्यथा आवर्ती होता है।

Q23. बहुपद x² - 5x + 6 के शून्य ज्ञात करें।

उत्तर: x² - 5x + 6 = 0 ⇒ (x-2)(x-3)=0, अतः शून्य 2 और 3 हैं।

Q24. सिद्ध करें कि शून्य बहुपद के अनंत शून्य होते हैं।

उत्तर: शून्य बहुपद का मान हर x के लिए 0 होता है, इसलिए हर वास्तविक संख्या उसका शून्य है।

Q25. समीकरण 2x + 3y = 6 के दो हल ज्ञात करें।

उत्तर: x=0 ⇒ y=2 और x=3 ⇒ y=0, अतः (0,2) और (3,0) इसके हल हैं।

Q26. (a + b)² - (a - b)² का मान ज्ञात करें।

उत्तर: (a+b)² - (a-b)² = 4ab होता है।

Q27. बिंदु (3,4) किस चतुर्थांश में स्थित है?

उत्तर: x और y दोनों धनात्मक हैं, इसलिए बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है।

Q28. यदि दो कोण संपूरक हैं और एक कोण 60° है, तो दूसरा कोण ज्ञात करें।

उत्तर: संपूरक कोणों का योग 180° होता है, अतः दूसरा कोण = 180° - 60° = 120°।

Q29. सिद्ध करें कि समांतर रेखाओं के लिए वैकल्पिक कोण बराबर होते हैं।

उत्तर: जब एक ट्रांसवर्सल दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो वैकल्पिक कोण बराबर होते हैं, जो ज्यामिति का प्रमेय है।

Q30. त्रिभुज के कोणों का योग 180° क्यों होता है?

उत्तर: समांतर रेखा के गुणों और आंतरिक कोणों के आधार पर सिद्ध किया जाता है कि त्रिभुज के तीनों कोणों का योग 180° होता है।

Q31. सिद्ध करें कि दो त्रिभुज SSS नियम से सर्वांगसम होते हैं।

उत्तर: यदि एक त्रिभुज की तीनों भुजाएँ दूसरे की तीनों भुजाओं के बराबर हों, तो दोनों त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

Q32. सिद्ध करें कि समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं।

उत्तर: विकर्ण खींचकर त्रिभुज बनते हैं जो सर्वांगसम होते हैं, इससे विपरीत भुजाएँ बराबर सिद्ध होती हैं।

Q33. सिद्ध करें कि वृत्त की सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

उत्तर: वृत्त की परिभाषा के अनुसार सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं, इसलिए सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।

Q34. यदि वृत्त की त्रिज्या 7 cm है, तो उसका व्यास ज्ञात करें।

उत्तर: व्यास = 2 × त्रिज्या = 2 × 7 = 14 cm।

Q35. घन का आयतन कैसे निकालते हैं?

उत्तर: घन का आयतन = भुजा³ होता है।

Q36. यदि घन की भुजा 5 cm है, तो उसका आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = 5³ = 125 cm³।

Q37. माध्य, माध्यिका और बहुलक में अंतर बताइए।

उत्तर: माध्य औसत होता है, माध्यिका बीच का मान होता है और बहुलक सबसे अधिक बार आने वाला मान होता है।

Q38. दिए गए डेटा का माध्य कैसे निकालते हैं?

उत्तर: सभी मानों का योग करके कुल मानों की संख्या से भाग देते हैं।

Q39. एक सिक्का उछालने पर हेड आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल परिणाम 2 (Head, Tail) होते हैं, अनुकूल 1 है, इसलिए प्रायिकता = 1/2।

Q40. एक पासा फेंकने पर 6 आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल संभावित परिणाम 6 हैं, अनुकूल 1 है, इसलिए प्रायिकता = 1/6।

Q41. सिद्ध करें कि समान्तर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं।

उत्तर: विकर्णों के प्रतिच्छेद बिंदु पर बनने वाले त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं, जिससे दोनों विकर्ण बराबर भागों में विभाजित होते हैं।

Q42. यदि एक त्रिभुज के दो कोण 50° और 60° हैं, तो तीसरा कोण ज्ञात करें।

उत्तर: तीसरा कोण = 180° - (50° + 60°) = 70°।

Q43. यदि x + y = 10 और x = 4, तो y ज्ञात करें।

उत्तर: y = 10 - 4 = 6।

Q44. सिद्ध करें कि किसी भी वृत्त में व्यास सबसे बड़ी जीवा होती है।

उत्तर: व्यास केंद्र से होकर गुजरता है और सबसे लंबी दूरी को दर्शाता है, इसलिए यह सबसे बड़ी जीवा होती है।

Q45. आयत का क्षेत्रफल कैसे निकालते हैं?

उत्तर: आयत का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई होता है।

Q46. यदि आयत की लंबाई 8 cm और चौड़ाई 5 cm है, तो क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल = 8 × 5 = 40 cm²।

Q47. डेटा संग्रह क्या है?

उत्तर: किसी विषय से संबंधित जानकारी इकट्ठा करने की प्रक्रिया को डेटा संग्रह कहते हैं।

Q48. असंभव घटना की प्रायिकता क्या होती है?

उत्तर: असंभव घटना की प्रायिकता 0 होती है।

Q49. निश्चित घटना की प्रायिकता क्या होती है?

उत्तर: निश्चित घटना की प्रायिकता 1 होती है।

Q50. यदि किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटता है, तो क्या निष्कर्ष है?

उत्तर: इसका अर्थ है कि बहुपद के दो वास्तविक शून्य हैं।

Q51. सिद्ध करें कि √3 एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर: मान लें √3 = p/q (सहप्रमेय), तो 3 = p²/q² ⇒ p² = 3q², जिससे p और q दोनों 3 से विभाज्य होंगे, जो विरोधाभास है। इसलिए √3 अपरिमेय है।

Q52. क्या 0 एक परिमेय संख्या है? कारण बताइए।

उत्तर: हाँ, क्योंकि 0 को 0/1 के रूप में लिखा जा सकता है, जो p/q के रूप में है।

Q53. बहुपद 2x³ + 3x² - x + 5 की घात क्या है?

उत्तर: बहुपद की घात सबसे बड़ी घात होती है, अतः इसकी घात 3 है।

Q54. सिद्ध करें कि x = -1, बहुपद x³ + x² - x -1 का शून्य है।

उत्तर: x = -1 रखने पर (-1)³ + (-1)² - (-1) -1 = -1 +1 +1 -1 = 0, अतः यह शून्य है।

Q55. समीकरण 3x + 2y = 12 का ग्राफ किस प्रकार की रेखा होगी?

उत्तर: यह एक सीधी रेखा होगी क्योंकि यह रेखीय समीकरण है।

Q56. यदि x-अक्ष पर कोई बिंदु है, तो उसका y-निर्देशांक क्या होगा?

उत्तर: x-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक 0 होता है।

Q57. यदि दो रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं, तो विपरीत कोणों का संबंध क्या है?

उत्तर: विपरीत कोण (Vertically Opposite Angles) हमेशा बराबर होते हैं।

Q58. सिद्ध करें कि त्रिभुज की किसी भी दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होता है।

उत्तर: यह त्रिभुज असमता प्रमेय है, जो बताता है कि दो भुजाओं का योग हमेशा तीसरी से बड़ा होता है।

Q59. यदि एक त्रिभुज समद्विबाहु है, तो उसके आधार कोणों का संबंध क्या होगा?

उत्तर: समद्विबाहु त्रिभुज में आधार कोण बराबर होते हैं।

Q60. सिद्ध करें कि समांतर चतुर्भुज के विपरीत कोण बराबर होते हैं।

उत्तर: समांतर रेखाओं और आंतरिक कोणों के गुणों से सिद्ध होता है कि विपरीत कोण बराबर होते हैं।

Q61. यदि वृत्त की परिधि 44 cm है, तो त्रिज्या ज्ञात करें। (π = 22/7)

उत्तर: परिधि = 2πr ⇒ 44 = 2 × 22/7 × r ⇒ r = 7 cm।

Q62. बेलन का आयतन कैसे निकाला जाता है?

उत्तर: बेलन का आयतन = πr²h होता है।

Q63. यदि बेलन की त्रिज्या 3 cm और ऊँचाई 7 cm है, तो आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = πr²h = 22/7 × 3² × 7 = 198 cm³।

Q64. वर्ग का क्षेत्रफल कैसे निकाला जाता है?

उत्तर: वर्ग का क्षेत्रफल = भुजा² होता है।

Q65. यदि वर्ग की भुजा 9 cm है, तो क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल = 9² = 81 cm²।

Q66. माध्यिका (Median) कैसे ज्ञात की जाती है?

उत्तर: डेटा को क्रम में रखकर बीच का मान माध्यिका होता है।

Q67. यदि किसी डेटा में सभी मान समान हों, तो माध्य, माध्यिका और बहुलक क्या होंगे?

उत्तर: तीनों मान समान होंगे क्योंकि सभी डेटा एक जैसे हैं।

Q68. एक पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: सम संख्याएँ 2,4,6 हैं ⇒ 3/6 = 1/2।

Q69. एक थैले में 3 लाल और 2 नीली गेंदें हैं, एक गेंद निकालने पर लाल आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल गेंदें 5, लाल 3 ⇒ प्रायिकता = 3/5।

Q70. सिद्ध करें कि यदि एक रेखा दो समांतर रेखाओं को काटती है, तो समांतर कोण बराबर होते हैं।

उत्तर: ट्रांसवर्सल द्वारा बने समांतर कोणों के गुण से यह सिद्ध होता है कि वे बराबर होते हैं।

Q71. यदि किसी बिंदु का निर्देशांक (-5,0) है, तो वह कहाँ स्थित है?

उत्तर: यह बिंदु x-अक्ष पर स्थित है क्योंकि y = 0 है।

Q72. बहुपद 4x² - 9 को गुणनखंड करें।

उत्तर: 4x² - 9 = (2x - 3)(2x + 3)।

Q73. यदि x + y = 7 और x - y = 3, तो x और y ज्ञात करें।

उत्तर: जोड़ने पर 2x = 10 ⇒ x = 5, y = 2।

Q74. सिद्ध करें कि त्रिभुज के बाह्य कोण का मान दो आंतरिक विपरीत कोणों के योग के बराबर होता है।

उत्तर: त्रिभुज के कोण योग प्रमेय के आधार पर यह सिद्ध किया जाता है।

Q75. यदि समांतर चतुर्भुज का एक कोण 70° है, तो दूसरा विपरीत कोण क्या होगा?

उत्तर: विपरीत कोण बराबर होते हैं, अतः 70° ही होगा।

Q76. यदि वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² है, तो त्रिज्या ज्ञात करें। (π = 22/7)

उत्तर: πr² = 154 ⇒ 22/7 × r² = 154 ⇒ r² = 49 ⇒ r = 7 cm।

Q77. घनाभ का आयतन कैसे निकाला जाता है?

उत्तर: घनाभ का आयतन = लंबाई × चौड़ाई × ऊँचाई होता है।

Q78. यदि घनाभ की लंबाई 4, चौड़ाई 3 और ऊँचाई 2 है, तो आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = 4 × 3 × 2 = 24 cm³।

Q79. बहुलक (Mode) क्या होता है?

उत्तर: जो मान सबसे अधिक बार आता है, उसे बहुलक कहते हैं।

Q80. एक सिक्का दो बार उछालने पर दोनों बार हेड आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल परिणाम 4, अनुकूल 1 ⇒ प्रायिकता = 1/4।

Q81. सिद्ध करें कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।

उत्तर: मान लें √5 = p/q, तो 5 = p²/q² ⇒ p² = 5q², जिससे p और q दोनों 5 से विभाज्य होंगे, जो विरोधाभास है। अतः √5 अपरिमेय है।

Q82. यदि किसी परिमेय संख्या का हर 10ⁿ के रूप में हो, तो उसका दशमलव प्रसार कैसा होगा?

उत्तर: यदि हर 10ⁿ के रूप में है, तो दशमलव प्रसार समाप्त (terminating) होगा।

Q83. बहुपद x³ - 6x² + 11x - 6 के शून्य ज्ञात करें।

उत्तर: यह (x-1)(x-2)(x-3) है, अतः शून्य 1, 2, 3 हैं।

Q84. सिद्ध करें कि किसी रेखीय समीकरण के अनंत हल होते हैं।

उत्तर: दो चर वाले रेखीय समीकरण के कई मान रखने पर अनंत युग्म मिलते हैं, इसलिए इसके अनंत हल होते हैं।

Q85. यदि (x + 2)² = 49, तो x के मान ज्ञात करें।

उत्तर: x + 2 = ±7 ⇒ x = 5 या x = -9।

Q86. यदि किसी बिंदु का निर्देशांक (0, -7) है, तो वह कहाँ स्थित है?

उत्तर: यह बिंदु y-अक्ष पर स्थित है क्योंकि x = 0 है।

Q87. सिद्ध करें कि यदि दो कोण पूरक हैं, तो उनका योग 90° होता है।

उत्तर: पूरक कोण की परिभाषा के अनुसार उनका योग 90° होता है, जो सिद्ध है।

Q88. एक त्रिभुज में यदि दो भुजाएँ बराबर हैं, तो सिद्ध करें कि उनके सामने के कोण बराबर होते हैं।

उत्तर: यह समद्विबाहु त्रिभुज का गुण है, जिसमें बराबर भुजाओं के सामने के कोण समान होते हैं।

Q89. यदि एक त्रिभुज के कोण 30°, 60°, 90° हैं, तो यह किस प्रकार का त्रिभुज है?

उत्तर: यह समकोण त्रिभुज है क्योंकि एक कोण 90° है।

Q90. सिद्ध करें कि आयत एक समांतर चतुर्भुज होता है।

उत्तर: आयत में विपरीत भुजाएँ समान और समांतर होती हैं, इसलिए यह समांतर चतुर्भुज है।

Q91. यदि किसी वृत्त की जीवा केंद्र से गुजरती है, तो वह क्या कहलाती है?

उत्तर: ऐसी जीवा को व्यास कहते हैं।

Q92. यदि किसी गोले का त्रिज्या 7 cm है, तो उसका आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = 4/3 πr³ = 4/3 × 22/7 × 343 = 1437.33 cm³ (लगभग)।

Q93. यदि किसी घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 94 cm² है और लंबाई 5 cm, चौड़ाई 3 cm है, तो ऊँचाई ज्ञात करें।

उत्तर: सूत्र 2(lb + bh + hl) = 94 रखकर h का मान निकालते हैं।

Q94. यदि डेटा 2,4,6,8,10 है, तो माध्यिका ज्ञात करें।

उत्तर: मध्य का मान 6 है, अतः माध्यिका = 6।

Q95. यदि किसी डेटा का माध्य 20 और कुल मान 5 हैं, तो कुल योग ज्ञात करें।

उत्तर: योग = माध्य × संख्या = 20 × 5 = 100।

Q96. एक पासा दो बार फेंका जाता है, दोनों बार अलग-अलग संख्या आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल परिणाम 36, समान 6 ⇒ अलग = 30 ⇒ प्रायिकता = 30/36 = 5/6।

Q97. यदि किसी घटना की प्रायिकता 0.8 है, तो उसके न होने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: 1 - 0.8 = 0.2।

Q98. सिद्ध करें कि दो समकोण त्रिभुज RHS नियम से सर्वांगसम होते हैं।

उत्तर: यदि कर्ण और एक भुजा बराबर हो, तो RHS नियम से त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

Q99. यदि किसी समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर हों, तो वह कौन सी आकृति होगी?

उत्तर: वह आयत होगा क्योंकि आयत के विकर्ण बराबर होते हैं।

Q100. यदि एक थैले में 4 हरी, 3 लाल और 3 नीली गेंदें हैं, तो नीली गेंद निकलने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल गेंदें 10, नीली 3 ⇒ प्रायिकता = 3/10।