लाडली बिहार बोर्ड

Q1. सम्बन्ध (Relation) क्या होता है?

उत्तर: Relation दो समुच्चयों के बीच एक संबंध होता है जिसमें एक समुच्चय के तत्व दूसरे समुच्चय के तत्वों से जुड़े होते हैं। इसे ordered pairs के रूप में लिखा जाता है। Relation subset होता है Cartesian product का। इसका उपयोग गणित में विभिन्न प्रकार के संबंधों को समझने के लिए किया जाता है। यह mapping की प्रारंभिक अवधारणा है।

Q2. फलन (Function) क्या है?

उत्तर: Function एक विशेष प्रकार का relation है जिसमें हर input का केवल एक ही output होता है। इसे f(x) के रूप में लिखा जाता है। Domain input का समूह होता है और range output का। Function का उपयोग विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने में किया जाता है। यह गणित का महत्वपूर्ण भाग है।

Q3. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन क्या है?

उत्तर: Inverse Trigonometric Functions वे फलन होते हैं जो त्रिकोणमितीय फलनों के उल्टे होते हैं। जैसे sin⁻¹x, cos⁻¹x आदि। ये कोण का मान निकालने में मदद करते हैं। इनका प्रयोग calculus और geometry में होता है। इनके मान सीमित दायरे में लिए जाते हैं।

Q4. आव्यूह (Matrix) क्या है?

उत्तर: Matrix संख्याओं का एक आयताकार रूप में व्यवस्थित संग्रह होता है। इसमें rows और columns होते हैं। इसे bracket में लिखा जाता है। Matrix का उपयोग equations को हल करने में होता है। यह linear algebra का महत्वपूर्ण भाग है।

Q5. आव्यूह का गुणन क्या है?

उत्तर: Matrix multiplication एक प्रक्रिया है जिसमें दो matrices को विशेष नियमों के अनुसार गुणा किया जाता है। पहली matrix के column और दूसरी के row बराबर होने चाहिए। हर element का गुणन और जोड़ किया जाता है। यह सामान्य गुणा से अलग होता है। इसका उपयोग system of equations में होता है।

Q6. Determinant क्या होता है?

उत्तर: Determinant एक संख्या होती है जो square matrix से प्राप्त होती है। इसे |A| से दर्शाते हैं। यह matrix के गुणों को दर्शाता है। इसका उपयोग inverse निकालने में होता है। Determinant का मान शून्य होने पर matrix singular होता है।

Q7. सातत्य (Continuity) क्या है?

उत्तर: कोई फलन continuous तब होता है जब उसका graph बिना टूटे बना हो। इसका मतलब limit, function value और left-right limit समान हों। यह calculus का महत्वपूर्ण भाग है। Continuous function smooth होता है। इसका उपयोग वास्तविक जीवन में होता है।

Q8. अवकलज (Derivative) क्या है?

उत्तर: Derivative किसी फलन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इसे dy/dx से लिखा जाता है। यह slope बताता है। इसका उपयोग गति, ढलान आदि में होता है। यह calculus का मुख्य विषय है।

Q9. अधिकतम और न्यूनतम क्या है?

उत्तर: Maxima और minima किसी फलन के सबसे बड़े और छोटे मान होते हैं। इन्हें derivative की सहायता से निकाला जाता है। यह optimization में काम आता है। इसका उपयोग व्यापार और विज्ञान में होता है। यह applications of derivatives का भाग है।

Q10. समाकलन (Integration) क्या है?

उत्तर: Integration differentiation का उल्टा होता है। यह area निकालने में उपयोग होता है। इसे ∫ से दर्शाते हैं। यह definite और indefinite दो प्रकार का होता है। इसका उपयोग भौतिकी और गणित में होता है।

Q11. निश्चित समाकलन क्या है?

उत्तर: Definite integral में सीमाएँ होती हैं। यह किसी curve के नीचे का क्षेत्रफल निकालता है। इसमें upper और lower limit होती है। इसका मान निश्चित होता है। यह practical समस्याओं में उपयोगी है।

Q12. अवकल समीकरण क्या है?

उत्तर: Differential equation वह समीकरण है जिसमें derivative शामिल होता है। यह किसी परिवर्तन को दर्शाता है। इसका उपयोग भौतिकी और इंजीनियरिंग में होता है। इसे हल करने के लिए integration का उपयोग होता है। यह उन्नत गणित का भाग है।

Q13. सदिश (Vector) क्या है?

उत्तर: Vector वह राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। इसे तीर के रूप में दर्शाया जाता है। इसका उपयोग भौतिकी में होता है। यह scalar से अलग होता है। Vector algebra महत्वपूर्ण विषय है।

Q14. Dot product क्या है?

उत्तर: Dot product दो vectors का गुणन होता है। इसे A.B से दर्शाते हैं। इसका परिणाम scalar होता है। यह कोण निकालने में मदद करता है। इसका उपयोग physics में होता है।

Q15. त्रिविमीय ज्यामिति क्या है?

उत्तर: 3D Geometry में तीन आयामों में बिंदु, रेखा और तल का अध्ययन होता है। इसमें x, y, z अक्ष होते हैं। यह space को दर्शाता है। इसका उपयोग इंजीनियरिंग में होता है। यह geometry का उन्नत भाग है।

Q16. रेखीय प्रोग्रामिंग क्या है?

उत्तर: Linear Programming एक तकनीक है जिससे अधिकतम या न्यूनतम मान निकाला जाता है। इसमें constraints होते हैं। इसे graph method से हल किया जाता है। इसका उपयोग व्यापार में होता है। यह optimization का भाग है।

Q17. प्रायिकता क्या है?

उत्तर: Probability किसी घटना के होने की संभावना को दर्शाती है। इसका मान 0 से 1 के बीच होता है। इसे P(E) से दर्शाते हैं। इसका उपयोग statistics में होता है। यह अनिश्चितता को मापता है।

Q18. फलन के प्रकार बताइए।

उत्तर: Functions कई प्रकार के होते हैं जैसे one-one, many-one, onto, into आदि। हर प्रकार का अपना गुण होता है। यह mapping को दर्शाते हैं। इसका उपयोग विभिन्न समस्याओं में होता है। यह relation का विस्तार है।

Q19. Limit क्या होता है?

उत्तर: Limit किसी फलन के निकट मान को दर्शाता है। यह x के किसी मान के पास जाने पर फलन का मान बताता है। यह continuity का आधार है। इसका उपयोग derivative में होता है। यह calculus का प्रारंभिक भाग है।

Q20. Increasing और Decreasing function क्या है?

उत्तर: Increasing function वह है जिसमें x बढ़ने पर f(x) बढ़ता है। Decreasing में f(x) घटता है। इसे derivative से पहचाना जाता है। यह graph से भी समझा जा सकता है। इसका उपयोग maxima-minima में होता है।

Q21. Cartesian product क्या है?

उत्तर: Cartesian product दो समुच्चयों का ordered pairs का समूह होता है। यदि A और B दो sets हैं तो A×B = {(a,b)} होता है। इसमें पहले तत्व A से और दूसरा B से लिया जाता है। इसका उपयोग relation बनाने में होता है। यह set theory का महत्वपूर्ण भाग है।

Q22. One-One Function को समझाइए।

उत्तर: One-One function वह होता है जिसमें हर अलग input का अलग output होता है। इसमें दो अलग x के लिए f(x) भी अलग होते हैं। इसे injective function भी कहते हैं। यह invertible होता है। इसका उपयोग advanced mathematics में होता है।

Q23. Onto Function क्या है?

उत्तर: Onto function वह होता है जिसमें codomain का हर तत्व range में शामिल होता है। इसका मतलब हर output के लिए input मौजूद होता है। इसे surjective function कहते हैं। यह complete mapping दर्शाता है। इसका उपयोग inverse function में होता है।

Q24. Principal value क्या होता है?

उत्तर: Principal value inverse trigonometric functions का निश्चित मान होता है। यह सीमित interval में लिया जाता है। जैसे sin⁻¹x का मान [-π/2, π/2] में होता है। इससे ambiguity दूर होती है। यह सही उत्तर पाने में मदद करता है।

Q25. Identity matrix क्या है?

उत्तर: Identity matrix एक square matrix होता है जिसमें diagonal elements 1 और बाकी 0 होते हैं। इसे I से दर्शाते हैं। यह multiplication में 1 जैसा कार्य करता है। A×I = A होता है। यह linear algebra में महत्वपूर्ण है।

Q26. Zero matrix क्या होता है?

उत्तर: Zero matrix वह matrix है जिसमें सभी elements 0 होते हैं। इसे O से दर्शाते हैं। यह addition में 0 जैसा काम करता है। A + O = A होता है। इसका उपयोग गणितीय क्रियाओं में होता है। यह basic concept है।

Q27. Adjoint matrix क्या है?

उत्तर: Adjoint matrix किसी matrix के cofactors का transpose होता है। इसे adj(A) से दर्शाते हैं। इसका उपयोग inverse निकालने में होता है। यह determinant से जुड़ा होता है। यह advanced matrix concept है।

Q28. Singular matrix क्या है?

उत्तर: Singular matrix वह होता है जिसका determinant शून्य होता है। इसका inverse नहीं होता है। यह system of equations को solve करने में समस्या पैदा करता है। यह matrix theory का महत्वपूर्ण भाग है।

Q29. Limit के नियम बताइए।

उत्तर: Limit के कई नियम होते हैं जैसे sum rule, product rule और quotient rule। ये limits को सरल बनाने में मदद करते हैं। इनके द्वारा कठिन समस्याओं को हल किया जाता है। यह calculus का आधार है। इसका उपयोग derivatives में होता है।

Q30. Left hand limit और Right hand limit क्या है?

उत्तर: Left hand limit वह होता है जब x किसी मान के बाएँ से पास आता है। Right hand limit दाएँ से आता है। दोनों समान होने पर limit exist करता है। यह continuity के लिए जरूरी है। यह graph से समझा जा सकता है।

Q31. Chain rule क्या है?

उत्तर: Chain rule composite function का derivative निकालने का नियम है। इसमें outer और inner function का derivative लिया जाता है। यह कठिन derivatives में उपयोगी है। यह calculus का महत्वपूर्ण नियम है।

Q32. Product rule क्या है?

उत्तर: Product rule दो functions के गुणन का derivative निकालने के लिए होता है। इसका सूत्र है (uv)' = u'v + uv'। यह calculus में बहुत उपयोगी है। इसका प्रयोग कई समस्याओं में होता है।

Q33. Quotient rule क्या है?

उत्तर: Quotient rule दो functions के भाग का derivative निकालने के लिए होता है। इसका सूत्र (u/v)' = (vu' - uv')/v² है। यह fraction वाले functions में उपयोगी है। यह derivative का महत्वपूर्ण नियम है।

Q34. Indefinite integral क्या है?

उत्तर: Indefinite integral बिना सीमा का integral होता है। इसमें constant of integration (C) जुड़ता है। यह antiderivative होता है। इसका उपयोग differential equations में होता है। यह integration का basic रूप है।

Q35. Integration by parts क्या है?

उत्तर: Integration by parts दो functions के गुणन का integral निकालने की विधि है। इसका सूत्र ∫uv dx = u∫v dx - ∫(u'∫v dx) है। यह कठिन integrals में उपयोगी है। यह calculus का महत्वपूर्ण भाग है।

Q36. General solution क्या है?

उत्तर: General solution differential equation का वह हल है जिसमें arbitrary constant होता है। यह सभी possible solutions को दर्शाता है। इसे integration से प्राप्त किया जाता है। यह complete solution होता है।

Q37. Particular solution क्या है?

उत्तर: Particular solution वह होता है जिसमें constant का निश्चित मान होता है। यह initial condition से प्राप्त होता है। यह एक specific solution होता है। इसका उपयोग वास्तविक समस्याओं में होता है।

Q38. Unit vector क्या है?

उत्तर: Unit vector वह vector होता है जिसका परिमाण 1 होता है। यह दिशा को दर्शाता है। इसे i, j, k से दर्शाते हैं। इसका उपयोग दिशा बताने में होता है। यह vector algebra का आधार है।

Q39. Position vector क्या है?

उत्तर: Position vector किसी बिंदु की origin से दूरी और दिशा को दर्शाता है। इसे r से दर्शाते हैं। यह coordinate system में उपयोगी है। इसका उपयोग geometry में होता है। यह vector का महत्वपूर्ण प्रकार है।

Q40. Direction cosines क्या हैं?

उत्तर: Direction cosines वे cosines होते हैं जो vector और axes के बीच कोण के होते हैं। इन्हें l, m, n से दर्शाते हैं। ये vector की दिशा बताते हैं। इनका योग का square 1 होता है। यह 3D geometry में उपयोगी है।

Q41. Distance formula (3D) क्या है?

उत्तर: 3D में दो बिंदुओं के बीच दूरी निकालने का सूत्र होता है। यह x, y, z coordinates पर आधारित होता है। यह Pythagoras theorem का विस्तार है। इसका उपयोग geometry में होता है। यह दूरी मापने का आसान तरीका है।

Q42. Feasible region क्या है?

उत्तर: Feasible region वह क्षेत्र होता है जो सभी constraints को संतुष्ट करता है। यह graph में दर्शाया जाता है। इसी क्षेत्र में optimal solution मिलता है। यह linear programming का महत्वपूर्ण भाग है।

Q43. Objective function क्या है?

उत्तर: Objective function वह function है जिसे maximize या minimize करना होता है। यह variables पर निर्भर करता है। यह linear programming का मुख्य भाग है। इसका उपयोग लाभ या लागत निकालने में होता है।

Q44. Random experiment क्या है?

उत्तर: Random experiment वह प्रक्रिया है जिसका परिणाम निश्चित नहीं होता। जैसे सिक्का उछालना। इसमें outcome कई हो सकते हैं। यह probability का आधार है। इसका उपयोग uncertainty को समझने में होता है।

Q45. Sample space क्या है?

उत्तर: Sample space सभी possible outcomes का समूह होता है। इसे S से दर्शाते हैं। यह random experiment का पूरा परिणाम देता है। इसका उपयोग probability निकालने में होता है। यह basic concept है।

Q46. Event क्या होता है?

उत्तर: Event sample space का subset होता है। यह एक या अधिक outcomes को दर्शाता है। इसे E से दर्शाते हैं। इसका उपयोग probability में होता है। यह घटना को समझने में मदद करता है।

Q47. Impossible event क्या है?

उत्तर: Impossible event वह होता है जिसका होना संभव नहीं है। इसकी probability 0 होती है। जैसे 7 आना एक dice में। यह theoretical concept है। यह probability की सीमा बताता है।

Q48. Sure event क्या है?

उत्तर: Sure event वह होता है जो हमेशा होता है। इसकी probability 1 होती है। जैसे dice में 1 से 6 आना। यह निश्चित घटना है। यह probability का उच्चतम मान दर्शाता है।

Q49. Complementary event क्या है?

उत्तर: Complementary event वह होता है जो घटना के न होने को दर्शाता है। इसे A' से लिखते हैं। P(A) + P(A') = 1 होता है। यह probability का महत्वपूर्ण नियम है।

Q50. Scalar quantity क्या है?

उत्तर: Scalar quantity वह होती है जिसमें केवल परिमाण होता है। जैसे लंबाई, समय। इसमें दिशा नहीं होती। यह vector से अलग होती है। इसका उपयोग basic physics में होता है।

Q51. Collinear points क्या हैं?

उत्तर: Collinear points वे बिंदु होते हैं जो एक ही सीधी रेखा पर होते हैं। यह geometry का महत्वपूर्ण concept है। इसे slope से जांचा जा सकता है। यह 2D और 3D दोनों में उपयोगी है।

Q52. Skew lines क्या हैं?

उत्तर: Skew lines वे रेखाएँ हैं जो न तो समानांतर होती हैं और न ही एक-दूसरे को काटती हैं। ये अलग-अलग planes में होती हैं। यह 3D geometry का भाग है।

Q53. Constraints क्या होते हैं?

उत्तर: Constraints वे सीमाएँ होती हैं जो variables पर लगाई जाती हैं। ये linear inequalities होती हैं। यह feasible region निर्धारित करती हैं। इसका उपयोग linear programming में होता है।

Q54. Non-negative restriction क्या है?

उत्तर: Non-negative restriction में variables का मान शून्य या उससे अधिक होता है। जैसे x ≥ 0, y ≥ 0। यह real-life problems में आवश्यक होता है। यह graph को सीमित करता है।

Q55. Classical probability क्या है?

उत्तर: Classical probability में सभी outcomes समान रूप से संभव होते हैं। इसका सूत्र P(E)=n(E)/n(S) है। यह basic probability है। इसका उपयोग सरल समस्याओं में होता है।

Q56. Empirical probability क्या है?

उत्तर: Empirical probability प्रयोग और अनुभव पर आधारित होती है। यह past data से निकाली जाती है। यह वास्तविक जीवन में उपयोगी है। यह theoretical probability से अलग है।

Q57. Parallel vectors क्या हैं?

उत्तर: Parallel vectors वे होते हैं जिनकी दिशा समान या विपरीत होती है। इनका cross product शून्य होता है। यह vector algebra का महत्वपूर्ण भाग है।

Q58. Equal vectors क्या हैं?

उत्तर: Equal vectors वे होते हैं जिनका परिमाण और दिशा दोनों समान होते हैं। ये अलग स्थान पर हो सकते हैं। यह vector का महत्वपूर्ण concept है।

Q59. Transpose of matrix क्या है?

उत्तर: Transpose matrix में rows को columns में बदल दिया जाता है। इसे Aᵀ से दर्शाते हैं। यह matrix operations में उपयोगी है।

Q60. Minor और Cofactor क्या हैं?

उत्तर: Minor किसी element को हटाकर बने determinant को कहते हैं। Cofactor में sign भी शामिल होता है। यह determinant और adjoint में उपयोग होता है। यह matrix theory का महत्वपूर्ण भाग है।

Q61. यदि A = {1,2} और B = {3,4} हो, तो A×B ज्ञात करें।

उत्तर: A×B = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}। इसमें हर element A का B के हर element से जोड़ा जाता है। कुल 4 ordered pairs बनते हैं। यही Cartesian product है।

Q62. f(x)=2x+3 का मान x=2 पर ज्ञात करें।

उत्तर: f(2)=2(2)+3=4+3=7। यहाँ x की जगह 2 रखा गया है। फलन का मान 7 आता है। यह सरल function evaluation है।

Q63. sin⁻¹(1/2) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: sin⁻¹(1/2)=π/6। क्योंकि sin(π/6)=1/2 होता है। यह principal value है। इसका मान radians में लिया जाता है।

Q64. यदि A = [[1,2],[3,4]] हो, तो A+A ज्ञात करें।

उत्तर: A+A = [[2,4],[6,8]]। हर element को खुद से जोड़ा गया है। यह matrix addition है। समान स्थान के elements जोड़े जाते हैं।

Q65. [[1,2],[3,4]] और [[2,0],[1,2]] का गुणन करें।

उत्तर: गुणन के बाद matrix = [[4,4],[10,8]]। row और column के अनुसार multiply किया गया। यह matrix multiplication का नियम है।

Q66. determinant |1 2; 3 4| का मान ज्ञात करें।

उत्तर: |A| = (1×4 - 2×3) = 4 - 6 = -2। यह 2×2 determinant है। ad-bc का प्रयोग किया गया है।

Q67. lim x→2 (x²-4)/(x-2) ज्ञात करें।

उत्तर: (x²-4)=(x-2)(x+2)। cancel करने पर x+2 बचता है। x=2 रखने पर उत्तर 4 मिलता है। limit = 4।

Q68. d/dx (x²) ज्ञात करें।

उत्तर: d/dx (x²)=2x। power rule का प्रयोग किया गया है। यह basic derivative है।

Q69. d/dx (sin x) ज्ञात करें।

उत्तर: d/dx (sin x)=cos x। यह standard derivative है। calculus में उपयोगी है।

Q70. ∫x dx का मान ज्ञात करें।

उत्तर: ∫x dx = x²/2 + C। यहाँ integration rule का उपयोग हुआ है। C constant है।

Q71. ∫(2x) dx का मान ज्ञात करें।

उत्तर: ∫2x dx = x² + C। constant 2 को बाहर लिया गया है। यह basic integration है।

Q72. dy/dx = 3x² हो, तो y ज्ञात करें।

उत्तर: y = ∫3x² dx = x³ + C। integration करके solution मिला। यह differential equation है।

Q73. vector (2i+3j) का magnitude ज्ञात करें।

उत्तर: |v| = √(2²+3²)=√(4+9)=√13। यह vector का परिमाण है।

Q74. (i+j) और (i-j) का dot product ज्ञात करें।

उत्तर: (i+j).(i-j)=1-1=0। क्योंकि i.i=1 और j.j=1। उत्तर 0 है।

Q75. बिंदु (1,2,3) और (4,5,6) के बीच दूरी ज्ञात करें।

उत्तर: दूरी = √[(3)²+(3)²+(3)²]=√27=3√3। यह 3D distance formula है।

Q76. Z = 3x+2y, जहाँ x=2,y=1 हो, तो Z ज्ञात करें।

उत्तर: Z=3(2)+2(1)=6+2=8। यह objective function का मान है।

Q77. एक सिक्का उछालने पर head आने की probability ज्ञात करें।

उत्तर: P(H)=1/2। कुल outcomes 2 हैं। favorable 1 है। इसलिए 1/2।

Q78. एक पासा फेंकने पर 3 आने की probability ज्ञात करें।

उत्तर: P(3)=1/6। कुल outcomes 6 हैं। favorable 1 है।

Q79. यदि f(x)=x³ हो, तो f'(x) ज्ञात करें।

उत्तर: f'(x)=3x²। power rule का उपयोग हुआ है।

Q80. ∫1 dx का मान ज्ञात करें।

उत्तर: ∫1 dx = x + C। यह सबसे basic integral है।

Q81. determinant |2 3;1 4| ज्ञात करें।

उत्तर: (2×4 - 3×1)=8-3=5। determinant = 5।

Q82. यदि x²+y²=25 और x=3 हो, तो y ज्ञात करें।

उत्तर: 9+y²=25 ⇒ y²=16 ⇒ y=±4। उत्तर ±4 है।

Q83. sin²θ + cos²θ का मान ज्ञात करें।

उत्तर: sin²θ + cos²θ = 1। यह identity है।

Q84. यदि A=[2] हो, तो A² ज्ञात करें।

उत्तर: A²=4। यह scalar matrix है।

Q85. ∫x² dx ज्ञात करें।

उत्तर: ∫x² dx = x³/3 + C। power rule से।

Q86. dy/dx = 2x हो, y ज्ञात करें।

उत्तर: y = x² + C। integration से मिला।

Q87. (2i+2j) का unit vector ज्ञात करें।

उत्तर: magnitude = √8। unit vector = (2i+2j)/√8।

Q88. यदि P(A)=1/4 हो, तो P(A') ज्ञात करें।

उत्तर: P(A')=1-1/4=3/4। complementary rule से।

Q89. यदि x+y=10 और x=4 हो, y ज्ञात करें।

उत्तर: y=10-4=6। यह simple equation है।

Q90. ∫(x+1) dx ज्ञात करें।

उत्तर: ∫x dx + ∫1 dx = x²/2 + x + C।

Q91. यदि f(x)=5x हो, तो f'(x) ज्ञात करें।

उत्तर: f'(x)=5। constant rule लागू होता है।

Q92. |3 0;0 3| determinant ज्ञात करें।

उत्तर: (3×3)=9। diagonal matrix है।

Q93. ∫(3) dx ज्ञात करें।

उत्तर: ∫3 dx = 3x + C। constant integration है।

Q94. यदि sinθ=1 हो, θ ज्ञात करें।

उत्तर: θ=π/2। क्योंकि sin(π/2)=1।

Q95. (i.i) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: i.i=1। यह unit vector property है।

Q96. यदि x²=16 हो, x ज्ञात करें।

उत्तर: x=±4। square root लेने पर।

Q97. ∫(x³) dx ज्ञात करें।

उत्तर: x⁴/4 + C। power rule से।

Q98. यदि P(S)=1 हो, इसका अर्थ बताइए।

उत्तर: इसका अर्थ है यह sure event है। घटना निश्चित है।

Q99. यदि 2x=10 हो, x ज्ञात करें।

उत्तर: x=5। simple equation है।

Q100. ∫(x⁴) dx ज्ञात करें।

उत्तर: x⁵/5 + C। यह standard integration है।

Q101. यदि A = {2,3} और B = {1,4} हो, तो A×B ज्ञात करें।

उत्तर: A×B निकालने के लिए A के हर element को B के हर element से जोड़ा जाता है। (2,1), (2,4), (3,1), (3,4) सभी ordered pairs बनते हैं। इसलिए A×B = {(2,1), (2,4), (3,1), (3,4)}। कुल 4 elements प्राप्त हुए। यही Cartesian product का सही उत्तर है।

Q102. f(x)=x²+2x+1 का मान x=1 पर ज्ञात करें।

उत्तर: सबसे पहले x=1 को function में रखें। f(1)=1²+2×1+1 होता है। अब इसे हल करने पर 1+2+1=4 मिलता है। इसलिए function का मान 4 है। यह simple substitution method है।

Q103. cos⁻¹(1) का मान ज्ञात करें।

उत्तर: हमें वह angle निकालना है जिसका cos =1 हो। हमें पता है cos(0)=1 होता है। इसलिए cos⁻¹(1)=0। यह principal value में आता है। इसलिए उत्तर 0 radians है।

Q104. Matrix [[2,1],[0,3]] का determinant ज्ञात करें।

उत्तर: determinant का सूत्र है ad-bc। यहाँ a=2, b=1, c=0, d=3 है। इसलिए determinant = (2×3)-(1×0)=6-0=6। यह 2×2 matrix है। अतः determinant का मान 6 है।

Q105. lim x→1 (x²-1)/(x-1) ज्ञात करें।

उत्तर: numerator को factor करें: (x-1)(x+1)। अब (x-1) कट जाएगा। शेष बचेगा x+1। अब x=1 रखने पर 1+1=2 मिलेगा। इसलिए limit का मान 2 है।

Q106. d/dx (x³+2x) ज्ञात करें।

उत्तर: derivative लेने के लिए power rule का उपयोग करें। d/dx(x³)=3x² और d/dx(2x)=2 होता है। दोनों को जोड़ने पर 3x²+2 मिलता है। यह final derivative है। इसलिए उत्तर 3x²+2 है।

Q107. ∫(x²+2) dx ज्ञात करें।

उत्तर: integral को अलग-अलग करें। ∫x² dx = x³/3 और ∫2 dx = 2x होता है। दोनों को जोड़ने पर x³/3 + 2x मिलता है। अंत में constant C जोड़ते हैं। इसलिए उत्तर x³/3 + 2x + C है।

Q108. dy/dx = 4x हो, y ज्ञात करें।

उत्तर: y निकालने के लिए integration करें। ∫4x dx = 4×(x²/2)=2x² होता है। इसके साथ constant C जोड़ते हैं। इसलिए y = 2x² + C। यह differential equation का हल है।

Q109. vector (3i+4j) का magnitude ज्ञात करें।

उत्तर: magnitude का सूत्र √(x²+y²) है। यहाँ x=3 और y=4 है। √(9+16)=√25=5 होता है। इसलिए vector का magnitude 5 है। यह basic vector calculation है।

Q110. (2i+3j) और (i+4j) का dot product ज्ञात करें।

उत्तर: dot product = (2×1)+(3×4)। =2+12=14। यह scalar value है। dot product direction नहीं बताता। इसलिए उत्तर 14 है।

Q111. बिंदु (2,3,4) और (5,7,9) के बीच दूरी ज्ञात करें।

उत्तर: distance formula √[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]। =√[(3)²+(4)²+(5)²]। =√(9+16+25)=√50। =5√2। यही अंतिम उत्तर है।

Q112. Z=2x+3y, जहाँ x=1,y=2 हो, Z ज्ञात करें।

उत्तर: x=1 और y=2 को रखें। Z=2(1)+3(2)=2+6=8। यह objective function है। इसका मान 8 आता है। इसलिए उत्तर 8 है।

Q113. दो सिक्के उछालने पर दोनों head आने की probability ज्ञात करें।

उत्तर: sample space = {HH, HT, TH, TT}। कुल outcomes = 4। favorable outcome = HH (1)। इसलिए probability = 1/4। यह classical probability है।

Q114. d/dx (cos x) ज्ञात करें।

उत्तर: derivative rule के अनुसार d/dx (cos x) = -sin x। यह standard formula है। calculus में बहुत उपयोगी है। इसलिए उत्तर -sin x है।

Q115. ∫(3x²+2x) dx ज्ञात करें।

उत्तर: अलग-अलग integrate करें। ∫3x² dx = x³ और ∫2x dx = x²। जोड़ने पर x³+x² मिलता है। अंत में +C जोड़ें। उत्तर x³+x²+C है।

Q116. यदि dy/dx = x+1 हो, y ज्ञात करें।

उत्तर: y = ∫(x+1) dx। = x²/2 + x + C। यह integration का परिणाम है। constant C arbitrary है। इसलिए final उत्तर यही है।

Q117. vector (1,2) का unit vector ज्ञात करें।

उत्तर: magnitude = √(1²+2²)=√5। unit vector = (1/√5, 2/√5)। यह direction को दर्शाता है। magnitude 1 होता है। यही सही उत्तर है।

Q118. यदि P(A)=2/5 हो, P(A') ज्ञात करें।

उत्तर: complementary rule: P(A')=1-P(A)। =1-2/5=3/5। यह complement probability है। यह हमेशा 1 से घटाया जाता है। उत्तर 3/5 है।

Q119. ∫(2x+3) dx ज्ञात करें।

उत्तर: ∫2x dx = x² और ∫3 dx = 3x। जोड़ने पर x²+3x मिलता है। अंत में constant C जोड़ते हैं। यह linear function का integral है। उत्तर x²+3x+C है।

Q120. यदि x²=9 हो, x ज्ञात करें।

उत्तर: x²=9 ⇒ x=±3। square root लेने पर दो मान आते हैं। positive और negative दोनों। इसलिए x=3 या -3। यही अंतिम उत्तर है।