लाडली बिहार बोर्ड

Q1. यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म क्या है?

उत्तर: यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म दो संख्याओं का HCF निकालने की विधि है। इसमें बड़ी संख्या को छोटी संख्या से भाग दिया जाता है। शेषफल को फिर से भाजक बनाया जाता है। यह प्रक्रिया तब तक चलती है जब तक शेषफल शून्य न हो जाए। अंतिम भाजक ही HCF होता है।

Q2. बहुपद क्या होता है?

उत्तर: बहुपद एक बीजीय व्यंजक होता है जिसमें चर और स्थिरांक होते हैं। इसमें घात केवल पूर्णांक होती है। उदाहरण: 2x² + 3x + 1 एक बहुपद है। बहुपद के पदों की संख्या के आधार पर इसे एकपद, द्विपद आदि कहा जाता है। इसका उपयोग विभिन्न गणनाओं में किया जाता है।

Q3. दो चर वाले रैखिक समीकरण क्या होते हैं?

उत्तर: ये समीकरण ax + by + c = 0 के रूप में होते हैं। इसमें x और y दो चर होते हैं। इनका ग्राफ सीधी रेखा होता है। इन समीकरणों को हल करने के लिए प्रतिस्थापन या विलोपन विधि का उपयोग किया जाता है। ये वास्तविक जीवन की समस्याओं में उपयोगी होते हैं।

Q4. द्विघात समीकरण क्या है?

उत्तर: द्विघात समीकरण ax² + bx + c = 0 के रूप में होता है। इसमें x की घात 2 होती है। इसके हल को मूल कहते हैं। इसे सूत्र विधि, गुणनखंड विधि से हल किया जाता है। इसका उपयोग भौतिकी और गणित में बहुत होता है।

Q5. समान्तर श्रेणी (AP) क्या है?

उत्तर: AP एक ऐसी संख्या श्रेणी है जिसमें लगातार पदों के बीच अंतर समान होता है। इस अंतर को सार्व अंतर कहते हैं। उदाहरण: 2, 4, 6, 8। इसका nth पद सूत्र से निकाला जाता है। इसका उपयोग वित्त और गणना में किया जाता है।

Q6. त्रिभुज की समानता क्या है?

उत्तर: जब दो त्रिभुजों के कोण समान और भुजाएँ अनुपात में होती हैं, तो वे समान होते हैं। इसके नियम AAA, SAS, SSS हैं। समान त्रिभुजों के क्षेत्रफल का अनुपात वर्ग के बराबर होता है। यह ज्यामिति का महत्वपूर्ण भाग है।

Q7. निर्देशांक ज्यामिति क्या है?

उत्तर: इसमें बिंदुओं को x और y अक्ष के आधार पर दर्शाया जाता है। दूरी सूत्र और मध्यबिंदु सूत्र का उपयोग होता है। यह ज्यामिति और बीजगणित का मिश्रण है। इसका उपयोग ग्राफ बनाने में किया जाता है।

Q8. त्रिकोणमितीय अनुपात क्या हैं?

उत्तर: ये कोण और भुजाओं के बीच संबंध बताते हैं। जैसे sin, cos, tan आदि। ये समकोण त्रिभुज पर आधारित होते हैं। इनका उपयोग ऊँचाई और दूरी में होता है। यह गणित का महत्वपूर्ण भाग है।

Q9. त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ क्या हैं?

उत्तर: ये ऐसे समीकरण हैं जो हर मान के लिए सत्य होते हैं। जैसे sin²θ + cos²θ = 1। इनका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने में होता है। यह गणितीय प्रमाण में काम आता है।

Q10. ऊँचाई और दूरी क्या है?

उत्तर: इसमें त्रिकोणमिति का उपयोग करके दूरी और ऊँचाई निकाली जाती है। यह कोणों पर आधारित होता है। इसका उपयोग भवन और पेड़ की ऊँचाई मापने में होता है।

Q11. वृत्त क्या है?

उत्तर: वृत्त एक ऐसा आकृति है जिसमें सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं। यह दूरी त्रिज्या कहलाती है। इसमें जीवा, व्यास, स्पर्शरेखा होती है।

Q12. रचनाएँ क्या हैं?

उत्तर: ज्यामिति में आकृतियों को बनाने की प्रक्रिया को रचना कहते हैं। इसमें स्केल और कंपास का उपयोग होता है। यह सटीक माप पर आधारित होता है।

Q13. वृत्त से संबंधित क्षेत्रफल क्या है?

उत्तर: इसमें वृत्त और उसके भागों का क्षेत्रफल निकाला जाता है। जैसे क्षेत्रफल = πr²। यह गणना प्रतियोगिता में महत्वपूर्ण है।

Q14. पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन क्या है?

उत्तर: इसमें ठोस आकृतियों का क्षेत्रफल और आयतन निकाला जाता है। जैसे घन, बेलन आदि। यह व्यावहारिक जीवन में उपयोगी है।

Q15. सांख्यिकी क्या है?

उत्तर: इसमें डेटा का संग्रह और विश्लेषण किया जाता है। माध्य, माध्यिका, बहुलक का उपयोग होता है। यह डेटा समझने में मदद करता है।

Q16. प्रायिकता क्या है?

उत्तर: यह किसी घटना के होने की संभावना को बताती है। इसका मान 0 से 1 के बीच होता है। यह खेल और जीवन में उपयोगी है।

Q17. HCF क्या होता है?

उत्तर: HCF दो या अधिक संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य भाजक होता है। इसे विभाजन विधि से निकाला जाता है।

Q18. ग्राफ क्या होता है?

उत्तर: ग्राफ बिंदुओं को दर्शाने का तरीका है। यह x और y अक्ष पर बनाया जाता है। इससे संबंध समझना आसान होता है।

Q19. क्षेत्रफल क्या है?

उत्तर: क्षेत्रफल किसी आकृति के अंदर का भाग होता है। इसे वर्ग इकाई में मापा जाता है।

Q20. आयतन क्या है?

उत्तर: आयतन किसी ठोस का स्थान घेरने की क्षमता है। इसे घन इकाई में मापा जाता है। यह व्यावहारिक गणना में उपयोगी है।

Q21. 135 और 225 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर: 135 = 3×3×3×5 और 225 = 3×3×5×5। दोनों में समान गुणनखंड 3×3×5 है। इसलिए HCF = 45। यह अभाज्य गुणनखंड विधि से निकाला गया है। यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक है।

Q22. बहुपद x² - 5x + 6 के शून्यक ज्ञात करें।

उत्तर: x² - 5x + 6 = (x-2)(x-3)। इसलिए शून्यक 2 और 3 हैं। जब x=2 या x=3, बहुपद का मान शून्य होता है। इसे गुणनखंड विधि से हल किया गया है।

Q23. समीकरण 2x + y = 5 और x - y = 1 को हल करें।

उत्तर: दोनों समीकरण जोड़ने पर 3x = 6 मिलता है। x = 2। अब x का मान दूसरे समीकरण में रखें। y = 1 प्राप्त होता है। अतः हल (2,1) है।

Q24. द्विघात समीकरण x² - 7x + 10 = 0 को हल करें।

उत्तर: x² - 7x + 10 = (x-5)(x-2)। इसलिए x = 5 या x = 2। ये इसके मूल हैं। यह गुणनखंड विधि से हल किया गया है।

Q25. AP: 3, 7, 11, ... का 10वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a = 3, d = 4। nth पद = a + (n-1)d। 10वाँ पद = 3 + 9×4 = 39। यह AP का सूत्र उपयोग करके निकाला गया है।

Q26. यदि दो त्रिभुज समान हैं, तो उनकी भुजाओं का अनुपात 2:3 है। क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। इसलिए (2/3)² = 4/9। अतः क्षेत्रफल का अनुपात 4:9 होगा। यह समानता के नियम से निकाला गया है।

Q27. बिंदु (2,3) और (6,7) के बीच दूरी ज्ञात करें।

उत्तर: दूरी = √[(6-2)² + (7-3)²]। = √(16+16) = √32। = 4√2। यह दूरी सूत्र से निकाला गया है।

Q28. sin 30° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: sin 30° = 1/2 होता है। यह त्रिकोणमिति का मानक मान है। इसे याद रखना आवश्यक है। यह गणनाओं में उपयोग होता है।

Q29. सिद्ध करें: sin²θ + cos²θ = 1।

उत्तर: यह एक मूलभूत सर्वसमिका है। समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय से प्राप्त होती है। यह हर θ के लिए सत्य होती है।

Q30. 10 मीटर ऊँचे पेड़ की छाया 10 मीटर है। कोण ज्ञात करें।

उत्तर: tanθ = ऊँचाई/छाया = 10/10 = 1। इसलिए θ = 45°। यह त्रिकोणमिति का उपयोग है।

Q31. 7 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल = πr² = 22/7 × 7×7 = 154। यह वर्ग सेमी में होगा। यह वृत्त का सूत्र है।

Q32. 14 सेमी व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात करें।

उत्तर: परिधि = πd = 22/7 × 14 = 44 सेमी। यह वृत्त का सूत्र है।

Q33. एक रेखा खंड का लंब समद्विभाजक बनाएं।

उत्तर: रेखा के दोनों सिरों से समान त्रिज्या से चाप बनाएं। चाप के मिलने वाले बिंदुओं को मिलाएं। यह लंब समद्विभाजक होगा।

Q34. 21 सेमी त्रिज्या वाले अर्धवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल = 1/2 × πr² = 1/2 × 22/7 × 21×21 = 693। यह अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है।

Q35. 7 सेमी भुजा वाले घन का आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = a³ = 7×7×7 = 343। यह घन का आयतन है।

Q36. एक बेलन की त्रिज्या 3 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है, आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = πr²h = 22/7 × 9 × 7 = 198। यह बेलन का आयतन है।

Q37. माध्य ज्ञात करें: 2, 4, 6, 8।

उत्तर: माध्य = (2+4+6+8)/4 = 20/4 = 5। यह औसत है।

Q38. एक सिक्का उछालने पर हेड आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल परिणाम 2 हैं। अनुकूल परिणाम 1 है। प्रायिकता = 1/2। यह समान संभावना का उदाहरण है।

Q39. 1 से 10 तक संख्याओं का माध्य ज्ञात करें।

उत्तर: योग = 55। संख्या = 10। माध्य = 55/10 = 5.5। यह औसत है।

Q40. x² - 9 = 0 को हल करें।

उत्तर: x² = 9। x = ±3। यह द्विघात समीकरण है।

Q41. tan 45° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: tan 45° = 1 होता है। यह मानक मान है।

Q42. (3,4) और (5,6) का मध्यबिंदु ज्ञात करें।

उत्तर: मध्यबिंदु = (4,5)। यह सूत्र से निकाला गया है।

Q43. 5, 10, 15,... का 5वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=5, d=5। 5वाँ पद = 5+4×5 = 25।

Q44. 10 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: πr² = 22/7 × 100 = 314.28। यह क्षेत्रफल है।

Q45. 6 सेमी भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: 6a² = 6×36 = 216। यह कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है।

Q46. 3x = 9 को हल करें।

उत्तर: x = 3। यह सरल रैखिक समीकरण है।

Q47. cos 60° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: cos 60° = 1/2 होता है। यह मानक मान है।

Q48. 1 से 5 तक संख्या में 3 आने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर: कुल 5 परिणाम हैं। अनुकूल 1 है। प्रायिकता = 1/5।

Q49. x + 5 = 10 को हल करें।

उत्तर: x = 5। यह सरल समीकरण है।

Q50. 2, 6, 10,... का 4वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=2, d=4। 4वाँ पद = 2+3×4 = 14।

Q51. 306 और 657 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर: यूक्लिड विधि से 657 ÷ 306 = 2 शेष 45। फिर 306 ÷ 45 = 6 शेष 36। 45 ÷ 36 = 1 शेष 9। 36 ÷ 9 = 0। अतः HCF = 9।

Q52. बहुपद x² + 7x + 10 के शून्यक ज्ञात करें।

उत्तर: x² + 7x + 10 = (x+5)(x+2)। अतः शून्यक -5 और -2 हैं। जब x = -5 या -2 होगा, बहुपद का मान शून्य हो जाएगा।

Q53. समीकरण 3x + 2y = 12 और x + y = 5 को हल करें।

उत्तर: दूसरे से x = 5 - y। पहले में रखें: 3(5-y)+2y=12 ⇒ 15-3y+2y=12 ⇒ y=3। फिर x=2। अतः हल (2,3) है।

Q54. x² - 4x - 5 = 0 को हल करें।

उत्तर: (x-5)(x+1)=0। अतः x=5 या x=-1। यह गुणनखंड विधि से हल किया गया है।

Q55. AP: 5, 9, 13,... का 12वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=5, d=4। nth पद = a+(n-1)d। 12वाँ पद = 5+11×4 = 49। यह AP का सूत्र है।

Q56. समान त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 3:4 है, क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल का अनुपात भुजाओं के अनुपात के वर्ग के बराबर होता है। (3/4)² = 9/16। अतः उत्तर 9:16 है।

Q57. बिंदु (1,2) और (4,6) के बीच दूरी ज्ञात करें।

उत्तर: दूरी = √[(4-1)²+(6-2)²] = √(9+16) = √25 = 5। यह दूरी सूत्र से निकाला गया है।

Q58. cos 30° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: cos 30° = √3/2 होता है। यह त्रिकोणमिति का मानक मान है। इसका उपयोग गणना में किया जाता है।

Q59. सिद्ध करें: 1 + tan²θ = sec²θ।

उत्तर: यह एक त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है। sin²θ + cos²θ =1 से विभाजित करने पर प्राप्त होती है। यह हर θ के लिए सत्य होती है।

Q60. 20 मीटर ऊँचे खंभे की छाया 20 मीटर है, कोण ज्ञात करें।

उत्तर: tanθ = 20/20 = 1। अतः θ = 45°। यह त्रिकोणमिति का उपयोग है।

Q61. 14 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल = πr² = 22/7 × 14×14 = 616। यह वर्ग सेमी में होगा।

Q62. 21 सेमी व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात करें।

उत्तर: परिधि = πd = 22/7 × 21 = 66 सेमी। यह वृत्त का सूत्र है।

Q63. 5 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: πr² = 22/7 × 25 = 78.57। यह वृत्त का क्षेत्रफल है।

Q64. 10 सेमी भुजा वाले घन का आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = a³ = 10×10×10 = 1000। यह घन का आयतन है।

Q65. एक बेलन की त्रिज्या 7 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है, आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = πr²h = 22/7 × 49 × 10 = 1540। यह बेलन का आयतन है।

Q66. संख्याएँ 5, 10, 15, 20 का माध्य ज्ञात करें।

उत्तर: योग = 50। संख्या = 4। माध्य = 50/4 = 12.5। यह औसत है।

Q67. एक पासा फेंकने पर 4 आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

उत्तर: कुल परिणाम 6 हैं। अनुकूल परिणाम 1 है। प्रायिकता = 1/6। यह समान संभावना है।

Q68. 1 से 20 तक संख्याओं का माध्य ज्ञात करें।

उत्तर: योग = 210। संख्या = 20। माध्य = 210/20 = 10.5। यह औसत है।

Q69. x² - 16 = 0 को हल करें।

उत्तर: x² = 16। x = ±4। यह द्विघात समीकरण है।

Q70. tan 30° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: tan 30° = 1/√3 होता है। यह मानक मान है।

Q71. (2,4) और (6,8) का मध्यबिंदु ज्ञात करें।

उत्तर: मध्यबिंदु = (4,6)। यह सूत्र से निकाला गया है।

Q72. AP: 4, 8, 12,... का 6वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=4, d=4। 6वाँ पद = 4+5×4 = 24।

Q73. 15 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: πr² = 22/7 × 225 = 707.14। यह क्षेत्रफल है।

Q74. 8 सेमी भुजा वाले घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: 6a² = 6×64 = 384। यह कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल है।

Q75. 5x = 20 को हल करें।

उत्तर: x = 4। यह सरल रैखिक समीकरण है।

Q76. sin 60° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: sin 60° = √3/2 होता है। यह मानक मान है।

Q77. 1 से 10 में 7 आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

उत्तर: कुल परिणाम 10 हैं। अनुकूल 1 है। प्रायिकता = 1/10।

Q78. x + 8 = 15 को हल करें।

उत्तर: x = 7। यह सरल समीकरण है।

Q79. 3, 9, 15,... का 5वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=3, d=6। 5वाँ पद = 3+4×6 = 27।

Q80. 12 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त की परिधि ज्ञात करें।

उत्तर: परिधि = 2πr = 2×22/7×12 = 75.42 सेमी। यह वृत्त का सूत्र है।

Q81. 144 और 180 का HCF ज्ञात करें।

उत्तर: 144 = 2×2×2×2×3×3 और 180 = 2×2×3×3×5। समान गुणनखंड 2×2×3×3 = 36 है। अतः HCF = 36। यह अभाज्य गुणनखंड विधि से निकाला गया है।

Q82. बहुपद x² - 9x + 20 के शून्यक ज्ञात करें।

उत्तर: x² - 9x + 20 = (x-5)(x-4)। अतः शून्यक 5 और 4 हैं। यह गुणनखंड विधि से हल किया गया है। जब x=5 या 4 होगा, मान शून्य होगा।

Q83. समीकरण 2x + 3y = 13 और x + y = 5 को हल करें।

उत्तर: x = 5 - y। पहले में रखने पर 2(5-y)+3y=13 ⇒ 10-2y+3y=13 ⇒ y=3। फिर x=2। अतः हल (2,3) है।

Q84. x² - 6x + 8 = 0 को हल करें।

उत्तर: (x-4)(x-2)=0। अतः x=4 या x=2। यह द्विघात समीकरण है जिसे गुणनखंड विधि से हल किया गया है।

Q85. AP: 7, 10, 13,... का 15वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=7, d=3। 15वाँ पद = a+(n-1)d = 7+14×3 = 49। यह AP का सूत्र है।

Q86. समान त्रिभुजों की भुजाओं का अनुपात 5:7 है, क्षेत्रफल का अनुपात ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल का अनुपात = (5/7)² = 25/49। यह समान त्रिभुज का नियम है। अतः उत्तर 25:49 है।

Q87. बिंदु (3,4) और (7,1) के बीच दूरी ज्ञात करें।

उत्तर: दूरी = √[(7-3)²+(1-4)²] = √(16+9) = √25 = 5। यह दूरी सूत्र से निकाला गया है।

Q88. sec 60° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: sec 60° = 1/cos60° = 1/(1/2) = 2। यह त्रिकोणमिति का मानक मान है।

Q89. सिद्ध करें: cosec²θ = 1 + cot²θ।

उत्तर: यह त्रिकोणमितीय सर्वसमिका है। sin²θ + cos²θ =1 से व्युत्पन्न होती है। इसे sin²θ से भाग देने पर प्राप्त होता है। यह हर θ के लिए सत्य है।

Q90. 15 मीटर ऊँचे स्तंभ की छाया 15 मीटर है, कोण ज्ञात करें।

उत्तर: tanθ = 15/15 = 1। अतः θ = 45°। यह त्रिकोणमिति का उपयोग करके निकाला गया है।

Q91. 21 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

उत्तर: क्षेत्रफल = πr² = 22/7 × 21×21 = 1386। यह वर्ग सेमी में होगा।

Q92. 28 सेमी व्यास वाले वृत्त की परिधि ज्ञात करें।

उत्तर: परिधि = πd = 22/7 × 28 = 88 सेमी। यह वृत्त का सूत्र है।

Q93. 12 सेमी भुजा वाले घन का आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = a³ = 12×12×12 = 1728। यह घन का आयतन है।

Q94. बेलन की त्रिज्या 5 सेमी और ऊँचाई 14 सेमी है, आयतन ज्ञात करें।

उत्तर: आयतन = πr²h = 22/7 × 25 × 14 = 1100। यह बेलन का आयतन है।

Q95. संख्याएँ 10, 20, 30, 40 का माध्य ज्ञात करें।

उत्तर: योग = 100। संख्या = 4। माध्य = 100/4 = 25। यह औसत है।

Q96. एक पासा फेंकने पर सम संख्या आने की प्रायिकता ज्ञात करें।

उत्तर: सम संख्याएँ = 2,4,6 (3 परिणाम)। कुल परिणाम = 6। प्रायिकता = 3/6 = 1/2। यह समान संभावना का उदाहरण है।

Q97. 1 से 15 तक संख्याओं का माध्य ज्ञात करें।

उत्तर: योग = 120। संख्या = 15। माध्य = 120/15 = 8। यह औसत है।

Q98. x² - 25 = 0 को हल करें।

उत्तर: x² = 25। x = ±5। यह द्विघात समीकरण है।

Q99. cot 45° का मान ज्ञात करें।

उत्तर: cot 45° = 1/tan45° = 1/1 = 1। यह मानक मान है।

Q100. AP: 6, 11, 16,... का 8वाँ पद ज्ञात करें।

उत्तर: a=6, d=5। 8वाँ पद = 6+7×5 = 41। यह AP का सूत्र है।